Fonctions au lycée : ln, exp

Les fonctions exponentielle et logarithme népérien occupent une place centrale au lycée. Elles lient le calcul, la modélisation et la compréhension du changement. Ce duo, noté exp(x) et ln(x), forme un couple fondamental en analyse : l’une « défait » l’autre, et ensemble, elles permettent d’explorer des phénomènes de croissance, de décroissance et d’équilibre dans tous les domaines scientifiques.

Fonction exponentielle exp(x)

La fonction exponentielle, notée exp(x) ou ex, est définie comme la fonction dérivant sur elle-même : (exp(x))' = exp(x). Elle est toujours positive, croissante sur ℝ et satisfait exp(0) = 1. Son comportement traduit une croissance continue et rapide, caractéristique des phénomènes naturels comme les intérêts composés, la démographie ou la radioactivité.

Fonction logarithme népérien ln(x)

La fonction logarithme népérien, inverse de l’exponentielle, est définie pour tout x > 0. Elle vérifie exp(ln(x)) = x et ln(exp(x)) = x. Son dérivé, (ln(x))' = 1/x, exprime la croissance lente des grandeurs proportionnelles et son rôle dans les calculs d’aires et d’intégrales. Graphiquement, ln(x) est une courbe douce, s’élevant lentement mais sans jamais s’arrêter.

Relations fondamentales

• ln(ab) = ln(a) + ln(b) et ln(an) = n × ln(a) : propriétés de linéarité du logarithme.
• exp(a + b) = exp(a) × exp(b) : image miroir de la précédente, traduisant la cohérence entre addition et multiplication.
• Les deux fonctions sont réciproques : elles se “défont” mutuellement, un concept essentiel pour les équations et les changements de variable.

Applications et interprétations

L’étude des fonctions ln et exp permet de modéliser des processus naturels et économiques, d’explorer les limites, les dérivées et les équations différentielles. Ces fonctions sont les piliers du raisonnement analytique : elles introduisent la continuité, la transformation et la croissance dans le langage des nombres réels.

Maîtriser ln(x) et exp(x), c’est comprendre une part essentielle du lien entre les mathématiques et le monde réel : le passage du discret au continu, du calcul à la compréhension du changement.